A fronteiradamatematica: QUADRATURA DO CÍRCULO

A fronteiradamatematica: QUADRATURA DO CÍRCULO: "A quadratura do círculo significa construir um quadrado cuja área seja igual à de um círculo dado ou, de modo equvalente, construir um círcu..."

O INFINITO

GEORG CANTOR

Professor Keiji Nakamura

Foi onde o grande matemático Georg Cantor , passou toda a sua vida adulta e ponde se tornou na primeira pessoa a entender realmente o significado do infinito e dar-lhe precisão matemática.

Georg Cantor é um de meus heróis, top 10, que faz parte da minha dissertação de mestrado, Isto porque, antes de Cantor nunca ninguém tinha realmente entendido o INFINITO, era um conceito complexo e traiçoeiro que parecia não levar a lado nenhum. Mas Cantor mostrou que o infinito podia ser perfeitamente compreensível, na verdade, não existia apenas um infinito, mas sim um número infinito de infinitos.

Primeiro Cantor pegou nos números 1, 2, 3, 4 e por aí fora. Depois pensou em compará-los com um conjunto muito menor, algo como, 10, 20, 30, 40,... O que ele mostrou foi que estes dois conjuntos infinitos de número têm realmente o mesmo tamanho, porque podemos emparelhá-los,

O com o 10,

0 2 com o 20,

O 3 com o 30,

E por aí fora... Ou seja, são infinitos do mesmo tamanho. Então, e as frações? Afinal de contas, há número infinito de frações ente qualquer um dos números inteiros. Então, certamente que o infinito das frações é muito maior do que o infinito dos números inteiros. Mas o que Cantor fez foi encontrar uma forma de emparelhar todos os números inteiros com um conjunto infinito de frações, e tê-lo da seguinte maneira. Começou por ordenar todas as frações numa grelha infinita. A primeira linha continha os números inteiros, as frações com o um como denominador, na segunda linha, surgiram as metades, frações com o dois como denominador e por aí fora. Cada fração aparece nesta matriz. Onde está o 2/3? Na segunda coluna, terceira linha. Agora imagine uma linha a ser pentear diagonalmente para trás e para frente, através das frações, ao distendermos esta linha podemos emparelhar todas as frações com um dos números inteiros, isto significa que as frações são do mesmo tipo de infinito, que dos números inteiros. Então, talvez todos os infinitos tenham o mesmo tamanho bem, é aqui que está a parte interessante, quando Cantor abordou todos os números decimais. E provou que eles têm um infinito maior, porque por muito que tentemos listas, todos os decimais infinitas, Cantor desenvolveu um argumento inteligente para nos, mostrar como construir um novo número decimal que faltava na nossa lista. Subitamente, a idéia de infinito torna-se evidente, existem infinitos diferentes, alguns maiores do que outros. É um momento realmente excitante, para mim, é como quando os primeiros humanos aprenderam a contar. Mas agora contamos de outra maneira, contamos infinitos. Abriu-se uma Porta que nos mostrou uma matemática inteiramente nova, mas isso não foi de grande ajuda do Georg Cantor.

Ele sofria de depressão “desordem Bipolar” uma das suas primeiras grandes crises foi em 1884. Mas por volta do virar do século, estas recaídas de sua doença mental tornam-se cada vez mais freqüentes. Muitas pessoas tentaram dizer a sua doença foi de certa forma desencadeada pela matemática incrivelmente abstrata com que lidava. Bem, não há dúvidas que tinha dificuldades... Devo dizer-lhe que quando começamos a contemplar o infinito, bem sinto que satisfeito com a base do infinito, mas conforme vai crescendo, tenho de lhe dizer, que começo a ficar desalentado pelo que está a acontecer e para onde vai. Durante grande parte da vida de Cantor, o único sítio para onde ia era este, o sanatório da universidade. Na altura não existia tratamento para a depressão desordem bipolar, nem para a paranóia que acompanhava freqüentemente os ataques de Cantor, ainda assim, a clínica era um bom sítio para se estar confortável, serena e pacífica, e,m muitas vezes, Cantor achava que o tempo que ia passando lhe fornecia a força mental para continuar a sua exploração do infinito. Outros matemáticos ficaram perturbados pelos paradoxos que o trabalho de Cantor criara, mas curiosamente, isto era algo que não preocupava Cantor. Ele nunca se angustiava com os paradoxos do infinito como as outras pessoas, porque Cantor acreditava que estar bem, existem certas coisas que conseguiu demonstrar. A matemática completa existe apenas em Deus. Ele conseguia entender tudo isto, e havia ainda o paradoxo final que não nos cabia a nos entender, mas apenas com Deus. Mas existia um problema que Cantor não conseguia deixar nas mãos do todo poderoso, um problema com o qual se debateu durante o resto de sua vida. Ficou conhecido como “Hipótese do contínuo”. Haverá algum infinito entre o infinito pequeno dos números inteiros e o infinito maior dos números decimais? Mas houve um matemática francês que o defendeu argumentando que a nova matemática do infinito de Cantor era bela, apesar de patológica.

Keiji Nakamura - Professor da Faculdades Integradas do Vale do Ribeira.

Duplicação do Cubo

DUPLICAÇÃO DO CUBO

A duplicação do cubo não existe possibilidade de construir com régua e compasso. Por que:

I. Um número real diz-se algébrico, se ele é raiz de uma equação polinomial de coeficientes racionais. Caso contrário, dizemos que o número é transcendente.

II. Um número real diz-se algébrico de grau n se ele for raiz de uma equação polinomial de coeficientes racionais de grau n e não for raiz de nenhuma equação polinomial de coeficientes racionais de grau menor que n.

O Problema da duplicação do Cubo mostrar em construir a aresta de um cubo de volume igual ao dobro do volume de um cubo de aresta dada, utilizando apenas uma régua e um compasso. Dado um segmento de medida a, construir um segmento de medida x tal que x^3=2.a^3. Vamos por hipótese que seja possível construir com régua não graduada e compasso um segmento com medida x tal que x^3=2.a^3, que fazendo a=1 teríamos a equação que x^3-2=0 cuja raiz é x=2^1/3, que é impossível construir com régua e compasso. Portanto, o problema da duplicação do cubo é impossível.

Keiji Nakamura, professor de prática de ensino da Faculdades Integradas do Vale do Ribeira.

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