Problemas interessantes e intrigantes

ATIVIDADES INTERESSANTES

1. CAMPEONATO BRASILEIRO

Quatro times Paulista ficaram empatados em pontos:

a. Santos Futebol Clube = 47 pontos ganhos.

b. Sport Corinthians Paulista = 47 pontos ganhos.

c. Sociedade Esportiva Palmeiras = 47 pontos ganhos.

d. São Paulo futebol Clube = 47 pontos ganhos.

Critério de desempate do campeonato brasileiro:

O time que tem o maior números de derrotas será campeão.

Argumentação escrita e oral:

Total de jogos: 40

V= vitória = 3 pontos;

E= empate=1 ponto;

D=derrota=0 ponto.

Santos F.C. = 47 pontos ganhos.

15V + 2E= 15 x3 +2= 47 pontos.

Derrota= 40 jogos – 17 = 23 derrotas.

Sport Club Corinthians = 47 pontos.

14V + 5E = 14x3+5=47 pontos.

Derrota= 40 jogos – 19= 21 derrotas.

Sociedade Esportiva Palmeiras= 47 pontos ganhos.

13V+ 8E = 13x3+8= 47 pontos ganhos.

Derrota= 40 jogos – 21= 19 derrotas.

São Paulo futebol Clube = 47 pontos ganhos.

12V+11 E= 12x3+ 11 = 47 pontos ganhos.

Derrota=40 jogos – 23= 17 derrotas.

Portanto o SFC que tem maior quantidade de derrota será plenamente Campeão. “Salve o Santos Futebol Clube Campeão.”

Argumentações matemáticas ou algébricas:

Time A e B empatados com P pontos em um Campeonato Brasileiro com N jogos. V=Vitórias; E = Empates e D= Derrotas.

VA+EA+DA = VB+EB+DB = N jogos.

[VA+2VA]-2VA+[EA]+DA-VB-EB=DB

Como,

[3VA+EA]=3VB+EB= P

Temos:

[3VA+EB]-2VA+DA-VB-EB=DB

2VB=2VA+DA=DB

2[VB-VA]=DB-DA

Logo, VB é maior ou igual a VA, se e somente se DB é maior ou igual a DA.

2. Use a Calculadora.

a. Digite um número qualquer de três algarismos;

b. Repita a digitação desse número obtendo um número do tipo abcabc.

c. Divida esse número sucessivamente por 7, 11 e 13.

d. Que resultado você obteve? Por que?

Exemplos e justificativas:

Digitei 456, vou repetir a digitação desse número: 456.

Deu 456456. E depois?

Dividi por 7, por 11 e 13.

{[(456456):7]:11}:13= isto é,

Verifiquemos que 7x11x13=1001.

1001 : 7 =143

1001:11=91

1001: 13=77

Logo,

Vamos ver, agora, quais foram os conhecimentos matemáticos que usamos para fazer essa mágica. Partindo de um número qualquer de três algarismos, por exemplo, o número 456 e formamos o número de seis algarismos: 456456.

Este número 456456 pode ser escrito da seguinte maneira:

456456=456x1000+1x456,

Agora, somando MIL vezes 456 com uma vez 456, encontramos mil e uma vezes 456, como quem junta 1000 batatas com 1 batata fica com 1001 batatas. Sacou?

Obs.: “Não mande o aluno plantar batata, ensine-o a plantar a batata.” Keiji Nakamura.

LOGO, 456456=1001X456-à

É evidente que isso não ocorre somente com o número 456456. Desenvolvendo o mesmo raciocínio, você poderá concluir também que, por exemplo:

479479=1001x479

205205=1001x205

557557=1001x557

999999=1001x999

Isso vale para qualquer número de seis algarismos, formado pela repetição de um número de três algarismos. Um número formado desse jeito será sempre igual a 1001 multiplicado por um outro número. Portanto, ele será obrigatoriamente um MÚLTIPLO de 1001.

Veja bem, qualquer número de seis algarismos, formado pela repetição de um número de três algarismos é divisível por 1001.

O número 1001, por sua vez, é múltiplo de 7, de 11 e de 13, pois:

1001:7=143

1001:11=91

1001:13=77

Assim, como qualquer número de 6 algarismos, formado pela repetição de um número de 3 algarismos, é divisível por 1001, e como 1001 é divisível tanto por 7, como por 11 e por 13, podemos concluir que: QUALQUER NÚMERO DE SEIS ALGARISMOS, FORMADO COM PELA REPETIÇÃO, DE UM MESMO NÚMERO DE TRÊS ALGARISMOS, É DIVISÍVEL POR 7, POR 11 E POR 13.

Com essa conclusão, fica claro que se terá sempre resto zero qualquer que seja o número desse tipo que for escolhido por você. Foi esse o truque usado nas adivinhações. Antes de prosseguirmos, veja que a chave dessa mágica está ligada à observação de que:

7 x 11 x 13 = 1001.

Professor Keiji Nakamura

Teoria Matemática

A partir do século XIX e sobretudo no início do século XX, os matemáticos elaboraram toda uma teoria matemática das axiomáticas com o objetivo de entender melhor e também controlar melhor a ferramenta axiomática, que é um instrumento de trabalho para o matematico.

ODEIO À MATEMÁTICA!

Odeio à matemática!

Na virada do milênio, mais precisamente no ano 2000, “a matemática deixou de ser cenário de ficção científica para fazer parte do cotidiano”. O futuro talvez não seja tão fantástico como havíamos previsto: fomos a marte, mas não previmos o acontecimento do dia 11 de setembro, temos à internet, mas não temos tele-transporte, nossos carros, em vez de voarem como nos desenhos dos jetsons, ficamos parados em engarrafamentos (frase modificada, Pierre Lévy).

Em contrapartida, estamos assistindo ao surgimento de uma transformação tão radical na nova cultura da ciência exata que nenhuma ficção soube prevê-la, o nascimento através das estruturas neurofisiológicas do funcionamento do cérebro humano e de como ele desenvolve a matemática a partir dessas estruturas.

Todo conhecimento gera sinapses no cérebro, e estas devem ser construídas de maneira super correta. Alguns conceitos adquiridos no ensino básico, que são muito falhos e alguns bastante perigosos para o aprendizado do conceito de número. ( frase modificada, W. de Maio).

Todo conhecimento adquirido de forma errada é um obstáculo, e gera infinitamente grande dificuldade para o aprendizado correto. Desde cedo aprendemos à matemática sem saber o conceito de “número” e sem a construção do conceito de Números Naturais, de números inteiros, racionais, irracionais e reais. Dividimos um chocolate, uma pizza ou um grupo de objetos em partes sem o conceito de “parte de”, porque os números inteiros não possuem partes. Tampouco, no algoritmo de divisão e sua estrutura. A existência de grandezas incomensuráveis e a ausência de um tratamento eficiente para expressá-las, isto é, o desconhecimento de uma fundamentação teórica para o conceito de número e de número real, não impediu o progresso de ramos da matemática do século XVI ao século XXI.

Uma palavra de incentivo. Nas décadas finais do século XX, e este início de século XXI, têm sido marcados por progressos notáveis na solução de problemas matemáticos importantes, alguns dos quais estavam em aberto há séculos, isto é especialmente verdadeiro no caso da teoria dos números, as demonstrações do “Último Teorema de Fermat” por Andrew Wiles, em 1995 e da Conjectura de Catalan por P. Mihãilescu, em 2002 e outras. Entretanto, a demonstração de cada um destes resultados envolve uma seção transversal expressiva da matemática contemporânea baseada na idéia central da teoria desenvolvida por Évariste Galois (1811-1832) é de considerar as várias maneiras pelas quais é possível permutar as raízes de um polinômio sem alterá-lo. Ao conjunto destas permutações, Galois deu nome de Teoria de grupo. (frase modificada, S.C. Coutinho).

As noções de grupos e subgrupos são exemplos de estruturas algébricas, isto é, conceitos de natureza classificatória, cujo objetivo é semelhante ao das classes taxonômicas em biologia. Em outras palavras, sua função é organizar objetos matemáticos que têm características comuns. É necessário, portanto, conhecer um grande número de exemplos para realmente entender o que se esconde por trás de definição de grupo.

- Afinal, quando é que os alunos passam a não gostar da matemática?

Estão listadas nos Parâmetros Curriculares Nacionais de matemática (1998) sobre o ensino dos números irracionais, reais, obstáculo de origem didática e obstáculos epistemológicos. Não existe nenhuma indicação de transposição didática da continuidade topológica dos números reais que permite modelar o tratamento dos fenômenos que envolvem grandezas contínuas como a função afim, quadrática e outras. A rede formada pelas memórias sensoriais e pelas geradas pelo cérebro possui uma estrutura equivalente à que a matemática chama de topológica.

A utilização dessa estrutura que distinguimos o ser humano dos demais seres e lhe permite o raciocínio lógico.

Keiji Nakamura

Lógica e Teoria dos Conjuntos - Parte 2 de 2

Lógica e Solução de Equações