Problemas interessantes e intrigantes

ATIVIDADES INTERESSANTES

1. CAMPEONATO BRASILEIRO

Quatro times Paulista ficaram empatados em pontos:

a. Santos Futebol Clube = 47 pontos ganhos.

b. Sport Corinthians Paulista = 47 pontos ganhos.

c. Sociedade Esportiva Palmeiras = 47 pontos ganhos.

d. São Paulo futebol Clube = 47 pontos ganhos.

Critério de desempate do campeonato brasileiro:

O time que tem o maior números de derrotas será campeão.

Argumentação escrita e oral:

Total de jogos: 40

V= vitória = 3 pontos;

E= empate=1 ponto;

D=derrota=0 ponto.

Santos F.C. = 47 pontos ganhos.

15V + 2E= 15 x3 +2= 47 pontos.

Derrota= 40 jogos – 17 = 23 derrotas.

Sport Club Corinthians = 47 pontos.

14V + 5E = 14x3+5=47 pontos.

Derrota= 40 jogos – 19= 21 derrotas.

Sociedade Esportiva Palmeiras= 47 pontos ganhos.

13V+ 8E = 13x3+8= 47 pontos ganhos.

Derrota= 40 jogos – 21= 19 derrotas.

São Paulo futebol Clube = 47 pontos ganhos.

12V+11 E= 12x3+ 11 = 47 pontos ganhos.

Derrota=40 jogos – 23= 17 derrotas.

Portanto o SFC que tem maior quantidade de derrota será plenamente Campeão. “Salve o Santos Futebol Clube Campeão.”

Argumentações matemáticas ou algébricas:

Time A e B empatados com P pontos em um Campeonato Brasileiro com N jogos. V=Vitórias; E = Empates e D= Derrotas.

VA+EA+DA = VB+EB+DB = N jogos.

[VA+2VA]-2VA+[EA]+DA-VB-EB=DB

Como,

[3VA+EA]=3VB+EB= P

Temos:

[3VA+EB]-2VA+DA-VB-EB=DB

2VB=2VA+DA=DB

2[VB-VA]=DB-DA

Logo, VB é maior ou igual a VA, se e somente se DB é maior ou igual a DA.

2. Use a Calculadora.

a. Digite um número qualquer de três algarismos;

b. Repita a digitação desse número obtendo um número do tipo abcabc.

c. Divida esse número sucessivamente por 7, 11 e 13.

d. Que resultado você obteve? Por que?

Exemplos e justificativas:

Digitei 456, vou repetir a digitação desse número: 456.

Deu 456456. E depois?

Dividi por 7, por 11 e 13.

{[(456456):7]:11}:13= isto é,

Verifiquemos que 7x11x13=1001.

1001 : 7 =143

1001:11=91

1001: 13=77

Logo,

Vamos ver, agora, quais foram os conhecimentos matemáticos que usamos para fazer essa mágica. Partindo de um número qualquer de três algarismos, por exemplo, o número 456 e formamos o número de seis algarismos: 456456.

Este número 456456 pode ser escrito da seguinte maneira:

456456=456x1000+1x456,

Agora, somando MIL vezes 456 com uma vez 456, encontramos mil e uma vezes 456, como quem junta 1000 batatas com 1 batata fica com 1001 batatas. Sacou?

Obs.: “Não mande o aluno plantar batata, ensine-o a plantar a batata.” Keiji Nakamura.

LOGO, 456456=1001X456-à

É evidente que isso não ocorre somente com o número 456456. Desenvolvendo o mesmo raciocínio, você poderá concluir também que, por exemplo:

479479=1001x479

205205=1001x205

557557=1001x557

999999=1001x999

Isso vale para qualquer número de seis algarismos, formado pela repetição de um número de três algarismos. Um número formado desse jeito será sempre igual a 1001 multiplicado por um outro número. Portanto, ele será obrigatoriamente um MÚLTIPLO de 1001.

Veja bem, qualquer número de seis algarismos, formado pela repetição de um número de três algarismos é divisível por 1001.

O número 1001, por sua vez, é múltiplo de 7, de 11 e de 13, pois:

1001:7=143

1001:11=91

1001:13=77

Assim, como qualquer número de 6 algarismos, formado pela repetição de um número de 3 algarismos, é divisível por 1001, e como 1001 é divisível tanto por 7, como por 11 e por 13, podemos concluir que: QUALQUER NÚMERO DE SEIS ALGARISMOS, FORMADO COM PELA REPETIÇÃO, DE UM MESMO NÚMERO DE TRÊS ALGARISMOS, É DIVISÍVEL POR 7, POR 11 E POR 13.

Com essa conclusão, fica claro que se terá sempre resto zero qualquer que seja o número desse tipo que for escolhido por você. Foi esse o truque usado nas adivinhações. Antes de prosseguirmos, veja que a chave dessa mágica está ligada à observação de que:

7 x 11 x 13 = 1001.

Professor Keiji Nakamura