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domingo, 4 de dezembro de 2011
sexta-feira, 2 de dezembro de 2011
domingo, 27 de novembro de 2011
Conceito científico e conceito cotidiano
A construção de conceito científico e do cotidiano evoluem por caminhos bem diferentes nos estudantes e não se repetem. Para Vigotsky é no processo educacional que acontece o amadurecimento das funções psicológicas superiores.
...Vigotsky afirma que:..." quando o currículo fornece o material necessário, o desenvolvimento dos conceitos científicos ultrapassa o desenvolvimento dos conceitos espontanêos."
...Vigotsky afirma que:..." quando o currículo fornece o material necessário, o desenvolvimento dos conceitos científicos ultrapassa o desenvolvimento dos conceitos espontanêos."
Palestra: Teoria de Euler
Poliedros convexos: Teorema de Euler
Professor
Keiji Nakamura
A
Palestra de hoje, Os Poliedros convexos: Teorema de Euler foi inspirada pela prova ENC-2003, mais conhecida como Provão do MEC e também pelo artigo do professor Zoroastro
Azambuja Filho, as coisas que ensinamos, as demonstrações do Teorema de Euler
para Poliedros convexos, RPM 3.
Tudo
começou aqui.
ENC – 2003 denominado Provão do MEC.
Questão 9. Em um livro texto para
segunda série do ensino médio encontra-se, sem qualquer justificativa, a
afirmação abaixo:
Propriedades dos Poliedros
Convexos.
Num Poliedro convexo, a soma dos
ângulos de todas as faces é dada por
S=(v – 2).180º, onde v e o número de vértices. Em seguida há um exemplo
de aplicação dessa fórmula e são propostos exercícios. Entre estes, há um
classificado como de fixação que tem o seguinte enunciado:
“Qual é a soma dos ângulos de um
poliedro convexo que tem 12 faces e 15 arestas? A resposta dada no final do
livro é 1080º.”
a)
Demonstre que, em um Poliedro Convexo com V
vértices, a soma dos ângulos internos de todas as faces e, de fato, dada por
S=(v-2).360º.
b)
De acordo com o Teorema de Euler, se existisse um poliedro Convexo com 12 faces e
15 arestas, quantos vértices teria?
c)
Prove que o Poliedro descrito no item anterior
não pode existir.
Padrão de Resposta Esperado
a)
Seja F o número de faces e A o número de arestas
do poliedro em questão. A soma dos ângulos internos de cada face é igual a (n-2).180º,
onde n é o número de lados dessa face. A soma S de todos os ângulos internos de todas as faces do poliedro será:
S=
mas 
porque cada aresta do
poliedro é lado de 2 de suas faces. A fórmula acima gora segue da aplicação da
Fórmula de Euler.
mas porque cada aresta do
poliedro é lado de 2 de suas faces. A fórmula acima gora segue da aplicação da
Fórmula de Euler.
V+F=A+2, ou;
A-F=V-2.
b)
V=A+2-F=15+2-12=5.
c)
Ainda que fosse possível que cada par destes 5
vértices fosse ligado por uma aresta, o número máximo de arestas seria 
Continuei
buscando e revivendo a demonstração do
Professor Zoroastro da RPM 3.
Em 1983, o Professor Zoroastro demonstrava com elegância, precisão dos
argumentos do Teorema: V – A + F =2. O
Teorema de Euler foi descoberto em 1758. Desde então, diversas demonstrações
apareceram na literatura e algumas continham falhas que foram descobertas muito
anos mais tarde.
A palestra começou
com uma discussão pela definição de Poliedros que necessitamos de acrescentar algumas restrições para dar
maior grau de confiabilidade: “um poliedro é convexo se qualquer reta (não
paralela a nenhuma de suas faces) o cortar em,
no máximo, dois pontos.”
Fizemos um roteiro
para aplicação da situação de aprendizagem, isto é, uma
descrição de um poliedro através de uma contagem: Fn= número de faces com n lados e Vn = número
de vértices com n arestas. A contagem de arestas, causou algum desconforto, quando o poliedro está desmontado resulta em contagem se duplica.
A primeira atividade
1 experimental foi como Euler descobriu que se considerarmos um poliedro
convexo, o número de vértice (V), o de arestas (A) e o número de faces (F)
satisfazem a relação: V-A+F=2.
|
Poliedro
|
Nome
|
Nº de Vértices
|
Nº de Arestas
|
Nº de Faces
|
V – A + F
|
 |
Tetraedro
|
4
|
6
|
4
|
2
|
 |
Hexaedro
|
8
|
12
|
6
|
2
|
 |
Octaedro
|
6
|
12
|
8
|
2
|
 |
Prisma triangular
|
6
|
9
|
5
|
2
|
 |
Prisma hexagonal
|
12
|
18
|
8
|
2
|
A segunda atividade 2
experimental quando Euler considerou
(P ) pontos em um plano e linha (arcos ou
segmentos) desse plano com extremos nesses pontos e que não se interceptam.
Seja (L) o número de linhas e (R ) o número de regiões em que o plano fica
dividido. Observamos que satisfazem
também a relação: P – L + R = 2.
|
Regiões em que o plano fica dividido.
|
Nº de pontos: P
|
Nº de linhas: L
|
Nº de regiões: R
|
P – L + R
|
 |
2
|
1
|
1
|
2
|
 |
2
|
2
|
2
|
2
|
 |
4
|
6
|
4
|
2
|
 |
8
|
10
|
4
|
2
|
Aqui que entra
as sugestões do professor Zoroastro,
escolhendo a reta r que não seja paralela a nenhuma das faces do poliedro.
Tomemos também um plano H, que não intercepta o Poliedro e que seja
perpendicular a r. O plano H divide o
espaço em dois semi-espaços, um dos quais contém o poliedro P. Para melhor
ilustrar a idéia do Zoro, imaginemos o
sol brilhando a pino sobre o semi-espaço superior de modo que seus raios sejam
retas verticais. Destacaremos a região
iluminada e a região sombria cuja intersecção do contorno máximo, isto equivale
a reunião da atividade 1 e 2.
Teorema de Euler. Em todo poliedro convexo com A arestas, V vértices e F faces, vale a relação
V-A+F=2.
Iniciemos a
demonstração com ajuda de todos os participantes, calculando a soma dos
ângulos internos de todas as faces de um
poliedro convexo P. As faces foram enumeradas de 1 a F. Lembrando que a soma
dos ângulos internos de um polígono
convexo de gênero n é igual a
180º.
(n-2)=
, ou
, ou
S=
Claro que no primeiro parêntese, a soma dos números de lados de todas as
faces do polígono é igual ao dobro do número de arestas e no segundo, a soma
das F parcelas é igual a 2F. Portanto,
S=
Agora chamamos de parte 1 a região iluminada e a parte 2 a região sombria.
O contorno do Poliedro tem o contorno do polígono convexo K.
A parte 1. A sombra das faces iluminadas é um polígono convexo com Vo
vértices em seu contorno e V1 pontos interiores, sombra dos vértices iluminados
do poliedro P.
a 
soma dos ângulos internos do contorno mais a soma de todos os
ângulos da figura interior= 
Racionando análogo, obteremos para a soma de todos os ângulos da sombra
das faces sombrias:
Somando as duas, temos como resultado:
S=
S=
Comparando (1) e (2) e dividindo por 
, resulta que:
, resulta que:
A – F= V -2, ou V-A + F= 2
V – A + F = 2
Obs. A Fórmula de Euler: V – A + F
= 2, este dois parece que veio da soma dos ângulos internos de um polígono
convexo e também do número de regiões, uma dentro e outra fora do sólido para
consolidar e, somente se o poliedro convexo.
sábado, 19 de novembro de 2011
3ªQuestão discursiva ENADE 2011/matemática
Questão discursiva 3
Em um prédio de 8 andares, 5 pessoas aguardam o elevador
no nadar térreo. Considere que elas entrarão no elevador e sairão, de maneira
aleatória, nos andares de 1 a 8.
Com base nessa situação,
faça o que se pede nos itens a seguir, apresentando o procedimento de cálculo
utilizado na sua direção.
a)
Calcule a probabilidade de essas pessoas
descerem em andares diferentes.
b)
Calcule a probabilidade de duas ou mais
pessoas descerem em um mesmo andar.
Respostas:
a)
.n(andares diferentes)=2.2.2.2.2=32
Logo, P(pessoas descerem em andares diferentes)=
b)
.n(duas ou mais pessoas descerem em
um mesmo andar)=C5,2+C5,3+C5,4+C5,5= 10+10+5+1=26
.n(s)= 56
P(duas ou mais pessoas descerem
em um mesmo andar) = 
2ªQuestão discurisva ENADE 2011/matemática
Questão discursiva 2.
A
síntese de indicadores Sociais (SIS 2010) utiliza-se da Pesquisa Nacional por
Amostra de Domicílios (PNAD) para apresentar sucinta análise das condições de
vida no Brasil. Quanto ao analfabetismo, a SIS 2010 mostra que os maiores
índices se concentram na população idosa, em camadas de menores rendimentos e
predominantemente na região Nordeste, conforme dados do texto a seguir.
A taxa de analfabetismo referente
a pessoas de 15 anos ou mais de idade baixou de 13,3% em 1999 para 9,7% em
2009. Em números absolutos, o contingente era de 14,1% viviam com ½
salário-mínimo de renda familiar per Capita. Os maiores decréscimos no analfabetismo por grupos etários entre
1999 e 2009 ocorreram na faixa dos 15 a
24 anos. Nesse grupo, as mulheres eram
mais alfabetizadas, mas a população masculina apresentou queda um pouco
mais acentuada dos índices de analfabetismo, mas a população masculina apresentou
queda um pouco mais acentuada dos índices de analfabetismo, que passou de 13,5%
para 6,3% contra 6,9% para 3,0% para as mulheres.
POPULAÇÃO ANALFABETA COM IDADE
SUPERIOR A 15 ANOS
|
ANO
|
2000
|
2001
|
2002
|
2003
|
2004
|
2005
|
2006
|
2007
|
2008
|
2009
|
|
%
|
13,5
|
12,4
|
11,8
|
11,6
|
11,2
|
10,7
|
10,2
|
9,9
|
10,0
|
9,7
|
Com base nos dados apresentados,
redija um texto dissertativo acerca da importância de políticas e programas
educacionais para a erradicação do analfabetismo e para a empregabilidade,
considerando as disparidades sociais e as dificuldades de obtenção de emprego
provadas pelo analfabetismo. Em seu texto, apresente uma proposta para a
superação do analfabetismo e para o aumento da empregabilidade.
Respostas:
Cabe a nós, governantes, dirigentes educacionais dar
incentivos (fiscais) para privilegiar a
empregabilidade para as pessoas de não letramentos com objetivos de melhorar e
adquirir os conhecimentos básicos, aperfeiçoamentos tecnológicas para permanências nos seus
trabalhos. Quanto mais estudos, maior salário. Incentivos de formações qualificados.
Contratar mestres e doutores
para orientações nas organizações de
aprendizagem para que essas gerações
estabeleçam em seus empregos por
mais tempo. Claro que nossos governantes
reconhecem perfeitamente o papel essencial da qualidade e da universalidade do
ensino elementar para o nível geral de educação de uma comunidade. Apenas desta
forma seremos capazes de tirar do mundo sem letramento para desenvolver as novas
tecnologias dentro do espírito que somos capazes de criar uma
evolução numa sociedade humanista.
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