Palestra: Teoria de Euler

Poliedros convexos: Teorema de Euler

Professor Keiji Nakamura

                A Palestra de hoje, Os Poliedros convexos: Teorema de Euler  foi inspirada pela prova  ENC-2003, mais conhecida como Provão do MEC  e também pelo artigo do professor Zoroastro Azambuja Filho, as coisas que ensinamos, as demonstrações do Teorema de Euler para Poliedros convexos, RPM 3.

                Tudo começou aqui.

ENC – 2003  denominado Provão do MEC.

Questão 9. Em um livro texto para segunda série do ensino médio encontra-se, sem qualquer justificativa, a afirmação abaixo:

Propriedades dos Poliedros Convexos.

Num Poliedro convexo, a soma dos ângulos de todas as faces é dada por  S=(v – 2).180º, onde v e o número de vértices. Em seguida há um exemplo de aplicação dessa fórmula e são propostos exercícios. Entre estes, há um classificado como de fixação que tem o seguinte enunciado:

“Qual é a soma dos ângulos de um poliedro convexo que tem 12 faces e 15 arestas? A resposta dada no final do livro é 1080º.”

a)      Demonstre que, em um Poliedro Convexo com V vértices, a soma dos ângulos internos de todas as faces e, de fato, dada por S=(v-2).360º.

b)      De acordo com o Teorema de Euler, se  existisse um poliedro Convexo com 12 faces e 15 arestas, quantos vértices teria?

c)       Prove que o Poliedro descrito no item anterior não pode existir.

Padrão de Resposta Esperado

a)      Seja F o número de faces e A o número de arestas do poliedro em questão. A soma dos ângulos internos de cada face é igual  a  (n-2).180º, onde n é o número de lados dessa face. A soma S de todos os ângulos  internos de todas as faces do poliedro será:

S= mas  porque cada aresta do poliedro é lado de 2 de suas faces. A fórmula acima gora segue da aplicação da Fórmula de Euler.

V+F=A+2, ou; A-F=V-2.

b)      V=A+2-F=15+2-12=5.

c)       Ainda que fosse possível que cada par destes 5 vértices fosse ligado por uma aresta, o número máximo de arestas seria 

Continuei buscando  e revivendo a demonstração do Professor Zoroastro da RPM 3.

Em 1983, o Professor Zoroastro demonstrava com elegância, precisão dos argumentos do Teorema:   V – A + F =2. O Teorema de Euler foi descoberto em 1758. Desde então, diversas demonstrações apareceram na literatura e algumas continham falhas que foram descobertas muito  anos mais tarde.

               A palestra começou com uma discussão pela definição de Poliedros que  necessitamos  de acrescentar algumas restrições para dar maior grau de confiabilidade: “um poliedro é convexo se qualquer reta (não paralela a nenhuma de suas faces) o cortar em,  no máximo, dois pontos.”

               Fizemos um roteiro para aplicação da situação de aprendizagem, isto é,   uma descrição de um poliedro através de uma contagem:  Fn= número de faces com n lados e Vn = número de vértices com n arestas. A contagem de arestas,  causou algum desconforto,  quando o poliedro  está desmontado resulta em  contagem se duplica.

               A primeira atividade 1 experimental foi como Euler descobriu que se considerarmos um poliedro convexo, o número de vértice (V), o de arestas (A) e o número de faces (F) satisfazem a relação:  V-A+F=2.

Poliedro	Nome	Nº de Vértices	Nº de Arestas	Nº de Faces	V – A + F
	Tetraedro	4	6	4	2
	Hexaedro	8	12	6	2
	Octaedro	6	12	8	2
	Prisma triangular	6	9	5	2
	Prisma hexagonal	12	18	8	2

               A segunda atividade 2  experimental  quando  Euler  considerou  (P )  pontos em um plano e linha (arcos ou segmentos) desse plano com extremos nesses pontos e que não se interceptam. Seja (L) o número de linhas e (R ) o número de regiões em que o plano fica dividido. Observamos que  satisfazem também  a relação: P – L + R = 2.

Regiões em que o plano fica dividido.	Nº de pontos: P	Nº de linhas: L	Nº de regiões: R	P – L + R
	2	1	1	2
	2	2	2	2
	4	6	4	2
	8	10	4	2

               Aqui que entra as  sugestões do professor Zoroastro, escolhendo a reta r que não seja paralela a nenhuma das faces do poliedro. Tomemos também um plano H, que não intercepta o Poliedro e que seja perpendicular a r.  O plano H divide o espaço em dois semi-espaços, um dos quais contém o poliedro P. Para melhor ilustrar a idéia do  Zoro, imaginemos o sol brilhando a pino sobre o semi-espaço superior de modo que seus raios sejam retas verticais. Destacaremos  a região iluminada e a região sombria cuja intersecção do contorno máximo, isto equivale a reunião da atividade 1 e 2.

Teorema de Euler. Em todo poliedro convexo com A  arestas, V vértices e F faces, vale a relação V-A+F=2.

               Iniciemos a demonstração com ajuda de todos os participantes, calculando a soma dos ângulos  internos de todas as faces de um poliedro convexo P. As faces foram enumeradas de 1 a F. Lembrando que a soma dos ângulos internos de um polígono  convexo de gênero n é igual a  180º.     

(n-2)=, ou

S=

Claro que no primeiro parêntese, a soma dos números de lados de todas as faces do polígono é igual ao dobro do número de arestas e no segundo, a soma das F parcelas  é igual a 2F. Portanto, S=

Agora chamamos de parte 1 a região iluminada e a  parte 2 a região sombria.

O contorno do Poliedro tem o contorno do polígono convexo K.

A parte 1. A sombra das faces iluminadas é um polígono convexo com Vo vértices em seu contorno e V1 pontos interiores, sombra dos vértices iluminados do poliedro P.

  a soma dos ângulos internos do contorno mais a soma de todos os ângulos da figura interior=

Racionando análogo, obteremos para a soma de todos os ângulos da sombra das faces sombrias:

Somando as duas, temos como resultado:

S=

S=

Comparando (1) e (2) e dividindo por , resulta que:

A – F= V -2, ou V-A + F= 2

V – A + F  =  2

Obs.  A Fórmula de Euler: V – A + F = 2, este dois parece que veio da soma dos ângulos internos de um polígono convexo e também do número de regiões, uma dentro e outra fora do sólido para consolidar e, somente se o poliedro convexo.