Conceito científico e conceito cotidiano

A construção de conceito científico e do cotidiano evoluem por caminhos bem diferentes nos estudantes e não se repetem.  Para Vigotsky é no processo educacional que acontece o amadurecimento das funções psicológicas superiores.
...Vigotsky afirma que:..." quando o currículo fornece o material necessário, o desenvolvimento dos conceitos científicos ultrapassa o desenvolvimento dos conceitos espontanêos."

Palestra: Teoria de Euler

Poliedros convexos: Teorema de Euler

Professor Keiji Nakamura

                A Palestra de hoje, Os Poliedros convexos: Teorema de Euler  foi inspirada pela prova  ENC-2003, mais conhecida como Provão do MEC  e também pelo artigo do professor Zoroastro Azambuja Filho, as coisas que ensinamos, as demonstrações do Teorema de Euler para Poliedros convexos, RPM 3.

                Tudo começou aqui.

ENC – 2003  denominado Provão do MEC.

Questão 9. Em um livro texto para segunda série do ensino médio encontra-se, sem qualquer justificativa, a afirmação abaixo:

Propriedades dos Poliedros Convexos.

Num Poliedro convexo, a soma dos ângulos de todas as faces é dada por  S=(v – 2).180º, onde v e o número de vértices. Em seguida há um exemplo de aplicação dessa fórmula e são propostos exercícios. Entre estes, há um classificado como de fixação que tem o seguinte enunciado:

“Qual é a soma dos ângulos de um poliedro convexo que tem 12 faces e 15 arestas? A resposta dada no final do livro é 1080º.”

a)      Demonstre que, em um Poliedro Convexo com V vértices, a soma dos ângulos internos de todas as faces e, de fato, dada por S=(v-2).360º.

b)      De acordo com o Teorema de Euler, se  existisse um poliedro Convexo com 12 faces e 15 arestas, quantos vértices teria?

c)       Prove que o Poliedro descrito no item anterior não pode existir.

Padrão de Resposta Esperado

a)      Seja F o número de faces e A o número de arestas do poliedro em questão. A soma dos ângulos internos de cada face é igual  a  (n-2).180º, onde n é o número de lados dessa face. A soma S de todos os ângulos  internos de todas as faces do poliedro será:

S= mas  porque cada aresta do poliedro é lado de 2 de suas faces. A fórmula acima gora segue da aplicação da Fórmula de Euler.

V+F=A+2, ou; A-F=V-2.

b)      V=A+2-F=15+2-12=5.

c)       Ainda que fosse possível que cada par destes 5 vértices fosse ligado por uma aresta, o número máximo de arestas seria 

Continuei buscando  e revivendo a demonstração do Professor Zoroastro da RPM 3.

Em 1983, o Professor Zoroastro demonstrava com elegância, precisão dos argumentos do Teorema:   V – A + F =2. O Teorema de Euler foi descoberto em 1758. Desde então, diversas demonstrações apareceram na literatura e algumas continham falhas que foram descobertas muito  anos mais tarde.

               A palestra começou com uma discussão pela definição de Poliedros que  necessitamos  de acrescentar algumas restrições para dar maior grau de confiabilidade: “um poliedro é convexo se qualquer reta (não paralela a nenhuma de suas faces) o cortar em,  no máximo, dois pontos.”

               Fizemos um roteiro para aplicação da situação de aprendizagem, isto é,   uma descrição de um poliedro através de uma contagem:  Fn= número de faces com n lados e Vn = número de vértices com n arestas. A contagem de arestas,  causou algum desconforto,  quando o poliedro  está desmontado resulta em  contagem se duplica.

               A primeira atividade 1 experimental foi como Euler descobriu que se considerarmos um poliedro convexo, o número de vértice (V), o de arestas (A) e o número de faces (F) satisfazem a relação:  V-A+F=2.

Poliedro	Nome	Nº de Vértices	Nº de Arestas	Nº de Faces	V – A + F
	Tetraedro	4	6	4	2
	Hexaedro	8	12	6	2
	Octaedro	6	12	8	2
	Prisma triangular	6	9	5	2
	Prisma hexagonal	12	18	8	2

               A segunda atividade 2  experimental  quando  Euler  considerou  (P )  pontos em um plano e linha (arcos ou segmentos) desse plano com extremos nesses pontos e que não se interceptam. Seja (L) o número de linhas e (R ) o número de regiões em que o plano fica dividido. Observamos que  satisfazem também  a relação: P – L + R = 2.

Regiões em que o plano fica dividido.	Nº de pontos: P	Nº de linhas: L	Nº de regiões: R	P – L + R
	2	1	1	2
	2	2	2	2
	4	6	4	2
	8	10	4	2

               Aqui que entra as  sugestões do professor Zoroastro, escolhendo a reta r que não seja paralela a nenhuma das faces do poliedro. Tomemos também um plano H, que não intercepta o Poliedro e que seja perpendicular a r.  O plano H divide o espaço em dois semi-espaços, um dos quais contém o poliedro P. Para melhor ilustrar a idéia do  Zoro, imaginemos o sol brilhando a pino sobre o semi-espaço superior de modo que seus raios sejam retas verticais. Destacaremos  a região iluminada e a região sombria cuja intersecção do contorno máximo, isto equivale a reunião da atividade 1 e 2.

Teorema de Euler. Em todo poliedro convexo com A  arestas, V vértices e F faces, vale a relação V-A+F=2.

               Iniciemos a demonstração com ajuda de todos os participantes, calculando a soma dos ângulos  internos de todas as faces de um poliedro convexo P. As faces foram enumeradas de 1 a F. Lembrando que a soma dos ângulos internos de um polígono  convexo de gênero n é igual a  180º.     

(n-2)=, ou

S=

Claro que no primeiro parêntese, a soma dos números de lados de todas as faces do polígono é igual ao dobro do número de arestas e no segundo, a soma das F parcelas  é igual a 2F. Portanto, S=

Agora chamamos de parte 1 a região iluminada e a  parte 2 a região sombria.

O contorno do Poliedro tem o contorno do polígono convexo K.

A parte 1. A sombra das faces iluminadas é um polígono convexo com Vo vértices em seu contorno e V1 pontos interiores, sombra dos vértices iluminados do poliedro P.

  a soma dos ângulos internos do contorno mais a soma de todos os ângulos da figura interior=

Racionando análogo, obteremos para a soma de todos os ângulos da sombra das faces sombrias:

Somando as duas, temos como resultado:

S=

S=

Comparando (1) e (2) e dividindo por , resulta que:

A – F= V -2, ou V-A + F= 2

V – A + F  =  2

Obs.  A Fórmula de Euler: V – A + F = 2, este dois parece que veio da soma dos ângulos internos de um polígono convexo e também do número de regiões, uma dentro e outra fora do sólido para consolidar e, somente se o poliedro convexo.

3ªQuestão discursiva ENADE 2011/matemática

Questão discursiva 3

            Em um prédio de 8 andares, 5 pessoas aguardam o elevador no nadar térreo. Considere que elas entrarão no elevador e sairão, de maneira aleatória, nos andares de 1 a 8.

Com base nessa situação, faça o que se pede nos itens a seguir, apresentando o procedimento de cálculo utilizado na sua direção.

a)     Calcule a probabilidade de essas pessoas descerem em andares diferentes.

b)    Calcule a probabilidade de duas ou mais pessoas descerem em um mesmo andar.

Respostas:

a)    

.n(andares diferentes)=2.2.2.2.2=32

Logo, P(pessoas descerem em andares diferentes)=

b)    .n(duas ou mais pessoas descerem em um mesmo andar)=C5,2+C5,3+C5,4+C5,5= 10+10+5+1=26

.n(s)= 56

P(duas ou mais pessoas  descerem em um mesmo andar) =

2ªQuestão discurisva ENADE 2011/matemática

Questão discursiva 2.

                A síntese de indicadores Sociais (SIS 2010) utiliza-se da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios (PNAD) para apresentar sucinta análise das condições de vida no Brasil. Quanto ao analfabetismo, a SIS 2010 mostra que os maiores índices se concentram na população idosa, em camadas de menores rendimentos e predominantemente na região Nordeste, conforme dados do texto a seguir.

A taxa de analfabetismo referente a pessoas de 15 anos ou mais de idade baixou de 13,3% em 1999 para 9,7% em 2009. Em números absolutos, o contingente era de 14,1% viviam com ½ salário-mínimo de renda familiar per Capita. Os maiores decréscimos  no analfabetismo por grupos etários entre 1999 e 2009 ocorreram  na faixa dos 15 a 24 anos. Nesse grupo, as mulheres eram  mais alfabetizadas, mas a população masculina apresentou queda um pouco mais acentuada dos índices de analfabetismo, mas a população masculina apresentou queda um pouco mais acentuada dos índices de analfabetismo, que passou de 13,5% para 6,3% contra 6,9% para 3,0% para as mulheres.

POPULAÇÃO ANALFABETA COM IDADE SUPERIOR A 15 ANOS

ANO	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009
%	13,5	12,4	11,8	11,6	11,2	10,7	10,2	9,9	10,0	9,7

Com base nos dados apresentados, redija um texto dissertativo acerca da importância de políticas e programas educacionais para a erradicação do analfabetismo e para a empregabilidade, considerando as disparidades sociais e as dificuldades de obtenção de emprego provadas pelo analfabetismo. Em seu texto, apresente uma proposta para a superação do analfabetismo e para o aumento da empregabilidade.

Respostas:

Cabe a nós, governantes, dirigentes educacionais dar incentivos (fiscais) para privilegiar  a empregabilidade para as pessoas de não letramentos com objetivos de melhorar e adquirir os conhecimentos básicos, aperfeiçoamentos  tecnológicas para permanências nos seus trabalhos. Quanto mais estudos, maior salário. Incentivos  de formações qualificados.

                Contratar mestres e doutores para orientações nas  organizações de aprendizagem para que essas gerações  estabeleçam   em seus empregos por mais tempo. Claro que  nossos governantes reconhecem perfeitamente o papel essencial da qualidade e da universalidade do ensino elementar para o nível geral de educação de uma comunidade. Apenas desta forma seremos capazes de tirar do mundo sem letramento para desenvolver as novas tecnologias dentro do espírito que somos capazes  de criar uma  evolução numa sociedade humanista.