Para que serve a Avaliação?

A AVALIAÇÃO SERVE :
. como um instrumento para ajudar o aluno aprender
.em processo, o professor pode replanejar sua atuação, avanço e dificuldades.

UM BOM PROFESSOR

Um bom professor não dá aula mas, produz investigações matemáticas na sala de aula para gerar conjecturas, reflexão e formalização do conhecimento.

DEZ MANDAMENTOS DO JOVEM DO SÉCULO XXI

. Seja flexível, isto é, não se especialize demais;
.Invista na criatividade, não só no conhecimento;
.Aprenda a lidar com incertezas (o mundo está assim);
.Prepare-se para estudar durante toda a vida;
.Tenha habilidades sociais e capacidade de expressão;
.Saiba trabalhar em grupo, bons empregos exigem isso;
.Esteja pronto para assumir responsabilidades;
.Busque ser empreendedor, talvez você crie seu emprego;
.Entenda as difeentes culturais (o trabalho globalizou );
.Adquira intimidade com novas tecnologias, como a internet.

fonte: conferência da UNESCO.

Quadrado Mágico

A relação entre matemática e aspectos misticos é a existência na história da matemática dos quadrados mágicos. Os quadrados mágicos são quadrados com n linha e colunas que apresentam a instigante propriedade: a soma dos números numa coluna ou linha ou diagonal é sempre constante. Por exemplo:
O quadrado no centro(3x3) é um quadrado mágico porque 2+9+4=7+5+3=6+1+8=2+5+8=6+5+4=15.
O quadrado (4x4) também é um quadrado mágico porque 16+3+2+13=5+10+11+8=9+6+7+12=4+15+14+1=16+10+7+1+4+6+11+13=34.
O quadrado mágico (4x4) está cravando numa das paredes laterais da belíssima igreja de Gaudi, a Sagrada Família em Barcelona, Espanha. Pode-se verificar que 1+14+14+4=11+7+6+9=8+10+10+5=13+2+3+15=1+7+10+15=13+10+6+4=33.
Segundo Tahan, os quadrados mágicos já eram de conhecimento dos chineses a 6000 a.C. Para muitos, um quadrado mágico formado de nove elementos (3 linhas e colunas) era utilizado como um amuleto para proteção contra a peste e mordida de escorpião.

Quadrado Mágico

Complete o Quadrado Mágico com algarismos de 1 a 9. A soma nas horiontais, nas verticais e nas diagonais deverá ser sempre igual a 15.
Solução:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Juntando
1 com 9 dá 10
2 com 8 dá 10
3 com 7 dá 10
4 com 6 dá 10
Sobrou 5, então devo colocar o 5 no centro.
par + par + ímpar dá ímpar.

ímpar + ímpar + ímpar dá ímpar
logo, 4 + 5 + 6 =15
3+5 + 7=15
1+5+9=15
8+5+2=15
etc

Quadrado Mágico

8 1 6
3 5 7
4 9 2

O Tratamento da informação e os temas transversais

Os professores de todas as áreas devem assumir o compromisso de trabalhar os conteúdos de suas discciçlinas numa perspectiva de transversalidade para que seus alunos possam compreender as questões de urgência social: temas como corientação sexual, meio ambiente, saúde, pluralidade cultural, educação para o consumo e muitos outros devem ser desenvolvidos tendo a étcia como tema abrangente de todas as atividades escolares.

PLURALIDADE CULTURAL

Cidadania +Ética+ Meio ambiente + Saúde + Orientação sexual= Pluralidade cultural.

PLURALIDADE CULTURAL
1. valorização do saber matemático, intuitivo e cultural implícitos no universo do aluno.
2. História da Matemática e a Etnomatemática como temáticas necessárias à construção de conhecimento.

MEIO AMBIENTE

Fenômenos do ambiente ligados a conceitos e procedimentos do conhecimento matemático, como os de elaboração de hipóteses, argumentação e interpretação de dados.

ÉTICA

Desenvolvimento de atitudes no aluno em relação ao seu processo de aprender e ao do próprio grupo, incluindo a troca de idéias, a discussão e mediação com o saber científico.

CIDADANIA

1. Tomadas de decisões, diretamente ligadas a compreensão, por parte do sujeito, de classificar, ordenar, quantificar e medir, assim como apropriar-se de maneira crítica pela leitura, de dados estatísticos que revelam uma dada realidade.
2. Criação de estratégias de ensino que possibilitem a capacidade de comprovação, argumentação e espírito crítico tão imprescindíveis para a formação da iniciativa pessoal e do trabalho coletivo.

O VACABULÁRIO DA ESTATÍSTICA

População: representa o conjunto total dos fatos ou fenômenos que queremos observar e pode ser finita ou infinita. Para observá-la, há CENSO.
AMOSTRA: representa uma parcela da população que queremos observar, selecionada de acordo com alguns critérios. O processo para observá-la chama-se AMOSTRAGEM.
Na observação, podemos encontrar dois tipos de dados(variáveis): QUALITATIVOS OU QUANTITATIVOS.
As variáveis (dados) quantitativas são expressas numericamente. Podem ser DISCRETAS (em geral, resultados de contagens) ou CONTÍNUAS(em geral, resultado de medições).
FREQÜÊNCIA ABSOLUTA: indica a quantidade de vezes que uma variável é observada.
FREQÜÊNCIA RELATIVA: indica a razão entre a freqüência absoluta de uma variável e o total de observações. Pode ser escrita na forma decimal ou na forma de porcentagem. É sempre um número compreendido entre 0 e 1.
OS GRÁFICOS E TABELAS são construídas para facilitar o entendimento da informação. Portanto, é proibido complicar!

Interdisciplinaridade

O estudo de determinado assunto utilizando métodos de outras disciplinas, como, por exemplo, usar conceitos matemáticos em uma aula de ciências (o trabalho feito por apenas um professor).

A Matemática Qualitativa

1ª Crise da Matemática: No século IV a.C. Quando foi demonstrado que a diagonal e o lado unitário de um quadrado não continham unidades de medida comuns, toda a teoria da proporção de Pitágoras teve de ser abandonada como falsa. A crise só foi resolvida no ano 310a.C. por Eudoxos e resolvida definitivamente no fim do século XIX, quando recebeu novo rumo nas mãos de Dedekind.
2ª Crise da Matmática: ocorreu nos fins do século XVII, em torno do recém criado cálculo, e contradições e paradoxos apareceram de modo crescente até a crise nos verdadeiros fundamentos do assunto tornando evidente. Somente no século XIX que Gauss e Cauchy deram os primeiros passos na resolução da crise substituindo a vaga noção de infinitésimais por um método preciso de limites. Seus trabalhos foram seguidos pela aritmetização da análise matemática por Weierstrass, Bolzano, Dedekind e Cantor e outros.
A 3ª crise veio à tona com a descoberta dos paradoxos em torno da teoria geral dos conjuntos de Cantor. A seriedade disto é devido não somente ao de que muitas matemáticas modernas são cunhadas em noções teóricas de conjunto como também de topologia e a teoria da medida, que têm a teoria dos conjuntos como base.

Dificuldades para aprender Probabilidade

O Professor Benedito A. da Silva doutor em CDI da PUC SP, com base em dados colhidos em escolas brasileiras de ensino Médio, descreve a dificuldades relativas ao processo de ensino e aprendizagem do conceito de Probabilidade condicional e indica como elas podem ser interpretadas, ainda uma vez utilizando a teoria de Duval. Seu alvo principal de análise foi o princípio da existência de diversos registros de representação desse conceito.

Raymundo Duval

Raymundo Duval, pesquisador em Educação Matemática, define um registro de representação semiótica como uma maneira típica de se representar um objeto matemático.
Segundo ele, para um mesmo objeto existem vários tipos de representações, tais como: simbólico, algébrico, gráfico, figural, numérico, linguagem natural, linguagem numérica e linguagem algébrica.
Duval argumenta, ainda, que quanto maior for a coordenação entre registros de representações diferentes do mesmo objeto matemático, maior será a possibilidade de apreensão desse objeto, a conceitualização.

Dificuldades para aprender a Matemática

1. Na passagem da Aritmética para a álgebra é fonte de dificuldades para um grande números de alunos.
a. No registros algébricos, as letras podem ter estatutos diferentes, dependendo da forma como são utilizados. Na passagem da aritmética para a álgebra distiguimos três estatutos para a letra: incógnita, indeterminado e variável:
Incógnita: A letra representante de um número desconhecido, por exemplo, durante a fase de colocação na forma de equação a letra é pensada como um número fixo e preciso.
Indeterminada: Neste caso, a letra poderia representar vários números.
Variável: assume valores num conjunto específico e estabelece uma relação entre dois conjuntos. A letra está a serviço de uma função.

Perspectiva para Século XXI

Uma Matemática mais intrigante do que nunca!
1. Teoria de Grupos: A matemática da simetria.
2. Topologia.
3. Estruturas Algébricas.
4. Geometria Projetiva.
5. Geometria analítica vetorial.
6. Teoria dos Caos.

Como se organizam os aritgos de divulgação

Formas de composição dos textos:
Em geral, o artigo se compõe de:
1. Estrutura formal.
a. Título
b. Olho, que busca interessar o leitor com apresentação de questões, síntese do que o leitor encontrará no artigo.
c. Introdução: apresentando as principais questões e definições necessárias à compreensão.
d.Boxes de sugestões de leitura sobre o tema, de resumo do conteúdo.
2. Desenvolvimento das partes do texto:
a. Exposição contendo definições, explicações ou relato de experiências.
3. Conclusões e Considerações finais.
4. Estilo de gênero
a. Em geral, objetivo e impessoal, em terceira pessoa.
b. Uso de linguagem especializada das ciências exatas.

Artigo 1. A CIÊNCIA DO SUDOKU

A ciência do sudoku
É de esperar que um jogo de lógica desperte o interesse de pouquíssimos pessoas-matemáticos, fanáticos por computador, apostadores compulsivos. O sudoku, porém, tornou-se imensamente popular em curto período de tempo, fazendo lembrar a febre do cubo magico do começo dos anos 80.
Ao contrário do cubo, que é tridimensional, um quebra-cabeça sudoku é formado por um quadrado bidimensional. Na versão mais comum contém 81 casas (distribuídas em nove linhas e nove colunas), agrupadas, por sua vez, em nove quadrados menores (subgrades) com nove casas cada um. O jogo começa com algumas casas já preenchidas por números, cabendo ao jogador completar as casas restantes com algarismos de 1 a 9, de modo que nenhum deles se repita na mesma coluna ou linha, nem dentro da mesma subgrade. Cada quebra-cabeça tem uma única solução.
Embora envolva números, o sudoku não exige conhecimento matemático: nenhuma operação numérica contribui para o preenchimento do quadrado, que em princípio poderia ser completado com qualquer conjunto de nove símbolos diferentes (letras, cores, figuras, etc). Apesar disso, o sudoku oferece vários desafios a matemáticos e especialistas em computação.[...]"
Jean Paul Delahaye, Scientific American Brasil, n.50, julho/2006.

André Weil

O matemático francês André Weil resumia situação pós-Gödel com a seguinte pérola:
"DEUS existe, uma vez que a matemática possui consistência, e o Diabo existe, uma vez que não podemos prová-la."

David Hilbert

Em 1900, outro matemático famoso, David Hilbert, fez um discurso na Sorbonne no qual apresentava os 23 problemas que iriam desafiar os matemáticos durante o século XX. De todos eles, apenas um, o oitavo problema, chegou aos nossos dias sem solução: a HIPÓTESE DE RIEMANN. Assim, o mistério dos números primos passou a ser considerado o maior problema matemático de todos os tempos.
A ausência de prova definitiva, contudo, não impediu que a Hipótese de Riemann assumisse enorme importância na matemática atual. Ela está resente em termos teóricos na mecânica quântica e na teoria dos Caos: e em termos práticos na criptografia e na segurança na internet, etc.

Pierre de Fermat

Fermat escreveu na margem de seu caderno:
-É impossível escrever um cubo, como soma de dois cubos, uma quarta potência como soma de duas quartas potências, e, em geral, qualquer potência maior que a segunda como soma de duas potências similares. Para isto eu descobri uma prova verdadeiramente maravilhosa, mas esta margem é muito pequena para contê-la.
1.637.

Aluno é indivídulo e o Professor é cidadão.

A família queria que ele fôsse médico.
Aos 5 anos matriculou na escola pública. Acabou o sonho de ser Doutor. Tristeza, foi expulso da escola pública e foi impedido estudar nas escolas particulares. Considerado, já no primeiro dia, de aluno medíocre e recebeu o apelido de burro. Após quase três anos, foi reconhecido e perdoado tudo que não fez naquele dia negro. Dada mais uma chance de continuar. Começou pintando uma rosa vermelha e saiu do quarto ano, também pintando uma rosa vermelha. Entrou na escola, falante, questionador e sonhador e formou-se calado, cheio de manchas roxas de tanto apanhar do professsor e sem colegas. Foi uma formatura silenciosa, todos dentro de uma forma e apenas ele fora.
Ele sabia a tabuada até 20, aprendeu que só devia aprender até 9. Sabia que as vogais tinham sons e as consoantes apenas sonorizavam. Cala-te boca, só o professor sabe. Que coisa!

Geraldo Ávila

Geraldo Ávila foi professor no ITA de São José do Rio Preto, no instituto de f´sicia teórica de SP(Unesp), na Unicampo e na universidade Federal de Goias. Foi presidente da Sociedade Brasileira de matemática . É autor de vários trabalhos de pesquisa e monografias especializadas na área de equações diferenciais e propagação ondulátória; dezenas de artigos de ensino e divulgação; e vários livros para o ensino universitário, dois dos quais agraciados com Prêmio Jabuti da Câmara Brasileira do livro.

Nicolas Bourbaki/estrutura mãe

O Grupo Nicolas Bourbaki, matemáticos franceses que, a partir da segunda guerra mundial, trabalharam para colocar toda a matemática em bases axiomáticas. As "estruturas-mãe" que tomam como ponto de partida (de ordem, topológicas e algébricas) deram a Jean Piaget as estruturas básicas do pensamento.
Alguns elementos do Grupo Nicolas Borbaki estiveram na Universidade de São Paulo (USP) após a segunda guerra Mundial para lecionar e difundir as disciplinas de Topologias, álgebra e outras.

Os números Naturais

Os números naturais formam um dos conceitos mais antigos concebidos pelo ser humano. Entretanto, a sua evolução de uma noção intuitiva para um conceito mais elaborado foi muito lenta. Só no final do Século XIX, quando os fundamentos de toda a matemática foram questionados e intensamente repensados, é que a noção de número passou a ser baseada em conceitos da teoria dos conjuntos, considerados mais primitivos.
Graças ao grande matemático italiano Giuseppe Peano que, com quatros axiomas, consegue não só definir a adição e a multiplicação nos naturais, como também deduzir a propriedades que asumiremos como Axiomas. Com as Axiomas de Peano veio ao bom entendimento do conhecimento infinito.

Leonhard Euler

Leonhard Euler (1707 – 1783) foi, sem dúvida, um dos maiores e mais importantes matemáticos de todos os tempos.

Euler nasceu na Suíça, perto da cidade de Basiléia, filho de um modesto pastor que nutria a esperança de que seu filho seguisse a mesma carreira.

Euler possuía uma grande facilidade para o aprendizado de línguas e uma prodigiosa memória, aliada a uma extraordinária habilidade para efetuar mentalmente contas complexas, habilidade esta que lhe seria muito útil no final de sua vida. Aos 14 anos, ingressou n Universidade da Basiléia, onde foi aluno de Johann Bernoulli, com quem teve a sua verdadeira iniciação à matemática. Aos 20 anos de idade, Euler recebeu menção honrosa da Academia de Ciências de Paris por um trabalho sobre a trajetória do mastro de um barco em movimento, mesmo sem conhecer o mar e não entendia nada de barco, ganhando reconhecimento internacional.

Em 1727, começa a sua carreira profissional, assumindo uma posição como físico na nova Academia de São Petersburgo, na Rússia. Foi nessa época que conheceu Christian Goldbach, que chamou a sua atenção para os problemas tratados por Fermat, fato esse responsável pela grande obra de Euler em Aritmética. Em 1773, Euler assumiu a cátedra de matemática na Academia de São Petersburgo.

Euler escreveu sobre os mais variados assuntos, tais como, teoria das funções, cálculo diferencial e integral, números complexos, acústica, música, teoria dos números, teoria das partições e mecânica, entre muitos outros, ocupando, indiscutivelmente, um lugar entre os maiores matemáticos de todos os tempos.

O professor NAKAMURA comentou em sala de aula que Euler, ao escrever sua tese de doutorado deixou uma pequena observação da soma e produto de pares ordenados que, mais tarde, foram considerados um ponto primordial para criação dos conjuntos numéricos, principalmente o conjunto dos números inteiros, o conjunto Z.

Trigonometria

A importância das funções trigonométricas foi grandemente reforçada com a descoberta de Joseph Fourier, em 1822, de que toda função periódica (com ligeiras e naturais restrições), é uma soma (finita ou infinita) de funções do tipo a.cos(nx) +b.sen(nx).
Uma propriedade fundamental das funções trigonométricas é que elas são periódicas. Por isso são especialmente adaptadas para descrever os fenômenos de natureza periódica, oscilatória ou vibratória, os quais abudam no universo: movmento dos planetas, som, corrente elétrica alternadas, circulação do sangue, batimentos cardíacos, etc.

História da Matemática

A história da Matemática é de grande importância para quem quer ser professor:
i) a história aumenta a motivação para a aprendizagem da matemática;
ii) humaniza a matemática;
iii) mostra seu desenvolvimento histórico por meio da ordenação e apresentação de tópicos no currículo;
iv) os alunos compreendem como os conceitos se desenvolveram;
v) constibui para as mudanças para a investigação em matemática;
vi) suscita oportunidades para a investigação em matemática.

Resumo descritivo no portal/Unisepe

RESUMO DESCRITIVO NO PORTAL UNISEPE/REGISTRO

No resumo, descrevem-se os principais tópicos do texto original e indicam-se sucintamente seus conteúdos. Não dispensa, portanto, a leitura e interpretação do texto matemático para a compreensão do assunto. Quanto à extensão, não deve ultrapassar quinze ou vinte linhas; utilizam-se frases curtas que, geralmente, correspondem a cada elemento fundamental do texto; o resumo descritivo, porém, não deve limitar-se à enumeração pura e simples das partes do trabalho. Deve conter a narração das idéias principais, ressaltando a problemática que se pretendeu solucionar ou explicar, os objetivos, a metodologia, as conclusões e as considerações finais.

Então, o resumo descritivo trata-se de realizar referências as partes principais do texto; é constituído de frases curtas; descreve a natureza do texto e objetivos.

Corte de Dedekind

Corte de Dedekind: um conjunto alfa de números racionais diz-se um corte se satisfazer as seguintes condições:
i) conjunto vazio diferente de alfa diferente de Q;
ii) se r pertence a alfa e s menor que r (s racional), então s pertence a alfa;
iii) em alfa não existe elemento máximo.

Números Irracionais

1. O que leva você a acreditar na existência de números irracionais?
2. Você corta uma folha de sulfite em duas partes por acaso. É sempre possível exprimir a razão entre os tamanhos dessas duas partes, as áreas, por exemplo, por um número racional?
Uma pequena explicação!
Como a maioria dos numeros são números irracionais, acredite se quiser, quase 100% de todos os números existentes.
Observemos que se o valor toal da área da folha de sulfite for considerado racional M e os pedaços x e y forem irracionais, então a razão x/y = (M-y)/y = M/y -1 é irracional.

Caros estudantes, o assunto de irracionalidade é fantástica. Esta matéria de aprofundamento do conceito de irracionalidade está sendo estado no Brasil neste século XXI.

Conjunto dos Números Irracionais

Conjunto dos Números irracionais não possui a propriedade fechamento ou operação interna.
Sabe-se que PI é a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro. Chamando de C o comprimento da circunferência (em cm) e de D a medida do diâmetro (em cm) obtemos PI=C/D. Isso levou um aluno a concluir que PI era racional. O que você diria a um aluno que lhe apresentasse tal conclusão?
Esta questão demanda um entendimento um pouco mais aprofundado do conceito de irracionalidade.

A construção do conjunto Q: Números racionais

A definição do conjunto Q dos racionais a partir do conjunto Z dos números inteiros.
Q-->ZxZ*, se (a1, b1) e (a2, b2) pertencem a ZxZ*, então (a1, b1) ~(a2, b2) se a1b2=a2b1.
Exemplos: (1, 2)~(2,4) -->1.4=2.2; (-1, 4)~(2, -8)--> (-1).(-8)=2.4
Classes de equivalência
A={...(-3, -3), (-2, -2), (-1,-1), (1,1),(2,2),(3,3)...}
B={...(-6, -3), (-4, -2), (-2, -1), (2, 1), (4, 2), (6, 3)...}
C={...(0, -4), (0, -3), (0, -2), (0, -1), (0, 1), (0, 2)(0, 3)...}
D={...(4, -6), (2, -3), (-2, 3), (-4, 6)...}
O racional (a, b) pode ser representado sob a forma a/b clamada fração, em que a é o numerador e b é o denominador da fração.
A igualdade a1.b2=a2.b1, pode ser indicada por a1/b1 = a2/b2
Podemos distinguir dois casos:
1. Se a é múltiplo de b, então o racional a/b é um número inteiro.;
A=-3/-3 = -2/-2 = -1/-1 = 1/1 = 2/2 = 1
B=-6/-3 = -4/-2 = -2/-1 = 2/1 = 4/2 = 2
2. Se a não é múltiplo de b, então o racional a/b não é um número inteiro.
D= -4/-6 = -1/-2 = 2/3 = 4/6 = ... 2/3
Operações aritméticas em Q: adição, subtação, multiplicação e divisão. Conjunto Q é um corpo ordenado e denso (com propriedades)
O conjunto Q é enumerável.

O que é média aritmética?

A média é o ponto de equilíbrio entre os valores dados.
Por exemplo, o aluno tirou no primeiro bimestre nota 4,0, no segundo bimestre 5,8, no terceiro 7,6 e no quarto 6,2. Asua média foi de 5,9.
5,9 sintetiza e representa o desempenho do aluno: no primeiro e segundo bimestre o aluno foi muito mal, obteve notas abaixo da média, (nota 4,0 e 5,8). Agora, nos dois últimos bimestres, obteve notas acima da média, 7,6 e 6,2.

Práticas Disciplinares

As Práticas Disciplinares significa fazer diligências para achar, pesquisar, indagar, inquirir, examinar com atenção, esquadrinhar. É, também, a sua importância no ensino e no aprendizado de professores e alunos.
Na parte da Educação, As Práticas Disciplinares, constitui uma poderosa forma de construir conhecimento.
Trabalhar com As Práticas Disciplinares não representa obrigatoriamente com trabalho com temas difíceis. Signfica, pelo contrário, trabalhar com questóes que nos angustiam e que apresentam no início de modo confuso, mas procuramos clarificar e estudar de modo organizado.
As Práticas Disciplinares certamente levará na medida que lida com temas como, por exemplo, o papel de professor em investigações e alguns aspectos relacionados à psicologia, pedagogia e outras.

Educação Estatistica

O tema Estatística desempenha um papel essencial na educação para a cidadania. Na verdade, a Estatística constitui uma importante ferramenta para a realização de projetos e investigações em numerosos domínios, sendo usada no planejamento, na escolha e análise de dados e na realização de interferências para tomar decisões.
Todo o cidadão precisa saber quando um argumento estatístico está ou não a ser utilizado com propriedade.

Números Reais: Corpo ordenado completo

A definição de corpo, além das quatro operações (adição, subtração, multiplicação e divisão) as Axiomas do corpo:
a. Associatividade;
b. comutatividade;
c. elementos neutros;
d.inversos;
e. distributividade. Portanto:
R é um corpo porque estão definidas as quatro operações (adição, subtração, multiplicação e divisão). É um corpo ordenado porque eixste a relação x

A Construção dos números inteiros. Conjunto Z

A definição do conjunto Z dos números inteiros a partir do conjunto N dos números Naturais.
N={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...}
Formemos o produto carteisano NxN, o conjunto de todos os pares ordenados (a, b), com a pertence a N e b pertence a N.
Consideremos a seguinte relação em NxN definindo uma relação de equivalência, O conjunto Z dos números inteiros será portanto o conjunto dessas classes de equivalências. A relação ~em NxN definida por (a, b) ~(c,d) quando a+d=b+c é de equivalência. Esta partição pode ser observada na seguinte representação de NxN.
Denotemos por (a, b) a classe de equivalência do par ordenado (a, b) pela relação ~, isto é, (a, b)={(x, y) pertence a NxN|(x, y)~(a, b)}
Por exemplo
i)(3,0)={(3,0), (4, 1), (5, 2), (6, 3)...}
ii) (0, 3)={(0, 3), (1, 4), (2, 5), ((3, 6)...}
Note que (5, 2)=(3,0)=3
Operações em Z.
Adição: (a, b) e ( c, d) elementos de Z.
(a, b) + (c, d)=(a+c, b+d)
Subtração
Oposto de (3, 1) oposto de (1, 3).
(a, b) - (c, d) =(a, b) +(d, c) = (a+d, b, c).
Multiplicação
(a, b).(c, d)=(ac+bd, a.d+c.b)
Divisão não é uma operação interna.
Propriedades.

Conceitos iniciais de limites

1. Se E=R(reais), A=]0, 1] e a ordem é a habitual, determine:
a. limites superiores de A;
Resposta: Os limites superiores de A os números L>ou= a 1(os números maiores ou igual a 1 são limites superiores.
b.Limites inferiores de A;
Resp. Os limites inferiores de A os números l menor ou igual a 0 ( os números menores ou igual a 0 são limites inferiores;
c.O máximo de A;
Resposta: O máximo de A é o 1 porque pertence a A;
d. O mínimo de A;
Resp. A não tem o mínimo porque o 0 não pertence a A.
e. O supremo de A;
Resp. O supremo de A é 1.
f. O infimo de A.
Resp. O ínfimo de A é 0.

Prá que serve o limite?

Prá que serve o limite?
A maioria dos universitários pergunta: Prá que serve o limite?
Posso dizer que estudamos limites por causa da construção dos números, construção e pesquisa de gráficos, séries convergentes para o estudo de continuidade.
Professor Keiji