A Construção dos números inteiros. Conjunto Z

A definição do conjunto Z dos números inteiros a partir do conjunto N dos números Naturais.
N={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...}
Formemos o produto carteisano NxN, o conjunto de todos os pares ordenados (a, b), com a pertence a N e b pertence a N.
Consideremos a seguinte relação em NxN definindo uma relação de equivalência, O conjunto Z dos números inteiros será portanto o conjunto dessas classes de equivalências. A relação ~em NxN definida por (a, b) ~(c,d) quando a+d=b+c é de equivalência. Esta partição pode ser observada na seguinte representação de NxN.
Denotemos por (a, b) a classe de equivalência do par ordenado (a, b) pela relação ~, isto é, (a, b)={(x, y) pertence a NxN|(x, y)~(a, b)}
Por exemplo
i)(3,0)={(3,0), (4, 1), (5, 2), (6, 3)...}
ii) (0, 3)={(0, 3), (1, 4), (2, 5), ((3, 6)...}
Note que (5, 2)=(3,0)=3
Operações em Z.
Adição: (a, b) e ( c, d) elementos de Z.
(a, b) + (c, d)=(a+c, b+d)
Subtração
Oposto de (3, 1) oposto de (1, 3).
(a, b) - (c, d) =(a, b) +(d, c) = (a+d, b, c).
Multiplicação
(a, b).(c, d)=(ac+bd, a.d+c.b)
Divisão não é uma operação interna.
Propriedades.