A definição do conjunto Q dos racionais a partir do conjunto Z dos números inteiros.
Q-->ZxZ*, se (a1, b1) e (a2, b2) pertencem a ZxZ*, então (a1, b1) ~(a2, b2) se a1b2=a2b1.
Exemplos: (1, 2)~(2,4) -->1.4=2.2; (-1, 4)~(2, -8)--> (-1).(-8)=2.4
Classes de equivalência
A={...(-3, -3), (-2, -2), (-1,-1), (1,1),(2,2),(3,3)...}
B={...(-6, -3), (-4, -2), (-2, -1), (2, 1), (4, 2), (6, 3)...}
C={...(0, -4), (0, -3), (0, -2), (0, -1), (0, 1), (0, 2)(0, 3)...}
D={...(4, -6), (2, -3), (-2, 3), (-4, 6)...}
O racional (a, b) pode ser representado sob a forma a/b clamada fração, em que a é o numerador e b é o denominador da fração.
A igualdade a1.b2=a2.b1, pode ser indicada por a1/b1 = a2/b2
Podemos distinguir dois casos:
1. Se a é múltiplo de b, então o racional a/b é um número inteiro.;
A=-3/-3 = -2/-2 = -1/-1 = 1/1 = 2/2 = 1
B=-6/-3 = -4/-2 = -2/-1 = 2/1 = 4/2 = 2
2. Se a não é múltiplo de b, então o racional a/b não é um número inteiro.
D= -4/-6 = -1/-2 = 2/3 = 4/6 = ... 2/3
Operações aritméticas em Q: adição, subtação, multiplicação e divisão. Conjunto Q é um corpo ordenado e denso (com propriedades)
O conjunto Q é enumerável.
A demonstração da construção do conjunto Q:
ResponderExcluira. Q é um corpo;
b. Q é um corpo ordenado;
c. Q é um corpo denso;
(Q, +) é um grupo abeliano.
(Q*, . ) é um grupo abeliano.
(Em Q* a multiplicação é distributiva em relação à adição.
(Q +, .) é um corpo comutativo.